Après plus de 3 siècles, un problème de géométrie issu d'un pari royal (et royal) a été résolu

Une dispute entre un prince et un mathématicien anglais du XVIIe siècle a donné naissance à un mystère géométrique qui aujourd'hui, après des siècles de tentatives et de théorèmes, a enfin trouvé une réponse grâce à deux jeunes chercheurs autrichiens.

Il y a ceux qui parient sur un match de football et ceux qui, au XVIIe siècle, les pariaient sur… des cubes. Tout a commencé avec le prince Rupert du Rhin, neveu de Charles Ier d'Angleterre, et John Wallis, l'un des mathématiciens les plus connus de l'époque. Le défi était le suivant : Un cube peut-il traverser un autre cube de même taille sans toucher ses côtés ?

N’importe qui dirait « bien sûr que non ». Et au contraire, le prince a gagné le pari. Grâce à ses connaissances en verre et en métallurgie, Rupert démontra qu'en perçant le cube en diagonale et en l'inclinant juste à droite, un deuxième cube identique pouvait le traverser. Cette idée géniale s'est transformée en théorème : la propriété de Rupert, c'est-à-dire la capacité de certains solides à laisser passer une copie identique d'eux-mêmes.

A partir de là, les mathématiciens ne se sont jamais arrêtés. De l'octogone au tétraèdre, jusqu'aux polyèdres les plus complexes (oui, même ceux des dés Donjons & Dragons), chaque forme testée semblait confirmer la règle : avec la bonne inclinaison, le passage était toujours possible.

Le « Noperthedron » : la forme qui brise 300 ans de certitudes

Puis, tout à coup, les mathématiques ont dit « non ». Deux chercheurs autrichiens, Jakob Steininger et Sergey Yurkevich, ont découvert une forme qui ne respecte pas la propriété de Rupert. Ils l'ont baptisé « Noperthedron », un jeu de mots entre « Rupert » et « Nope ».

Ce solide à 180 côtés est le premier au monde à ne pas pouvoir traverser une copie de lui-même, quel que soit l'angle ou la direction du trou. Un résultat qui a également dressé les oreilles de Tom Murphy, ingénieur de Google et passionné du sujet, qui a défini la découverte comme « une rareté absolue dans la mer des formes possibles ».

Les deux chercheurs ont effectué des millions de simulations informatiques, analysant chaque inclination, chaque perspective, chaque étape possible. Après 18 millions de tentatives, la réponse est venue : impossible. Le Noperthedron ne passe pas à travers lui-même. Indiquer.

Deux amis, un algorithme et un défi séculaire

Steininger et Yurkevich ne sont pas deux universitaires enfermés dans un laboratoire, mais deux amis qui ont grandi ensemble, tous deux amoureux des mathématiques et des défis « impossibles ». Tout a commencé en 2021, lorsqu’ils ont vu une vidéo d’un cube traversant un autre cube. A partir de là, la question :

Pouvons-nous trouver un formulaire qui ne le fait pas ?

Leur idée est aussi simple que géniale : étudier les ombres. Si vous projetez une figure dans la lumière et que l’ombre de l’autre ne parvient jamais à se chevaucher complètement, cela signifie qu’aucune inclinaison ne permettra le passage. À partir de ce principe, ils ont développé deux théorèmes, un « global » et un « local », pour analyser chaque point du solide et ses projections.

Le résultat est un objet qui ressemble à un vase géométrique, composé de 150 triangles et de deux polygones à 15 côtés, qui nie toute possibilité de passage. Un petit chef-d'œuvre de logique et de patience, né presque comme une plaisanterie, et qui est devenu une découverte historique.

Après des siècles de théorèmes et de simulations, les mathématiques continuent de nous le rappeler. Le Noperthedron est la preuve que même au 21ème siècle il y a encore place à l’intuition, à l’erreur, au doute. Et c’est là, entre une formule et une lumière bien orientée, que la science redevient humaine.

Comme l’a dit l’un des deux chercheurs :

Nous ne sommes que deux mathématiciens qui aiment résoudre des problèmes difficiles. Et nous continuerons à le faire, car nous ne pouvons pas nous en passer.

Source : arXiv