Pi : les formules ingénieuses de Ramanujan d'il y a un siècle pourraient aider à expliquer les secrets les plus profonds de l'univers

Les formules pi de Ramanujan, nées il y a un siècle, aident aujourd'hui les physiciens à comprendre les trous noirs, les turbulences et les lois profondes de l'univers.

Les mathématiques semblent parfois éloignées de la vie réelle. Des chiffres, des symboles, des formules qui ne vivent que sur papier. Pourtant, certaines intuitions nées il y a plus de cent ans reviennent aujourd’hui au centre de la recherche scientifique car elles permettent de comprendre le fonctionnement de l’univers, des trous noirs aux turbulences fluides. C'est le cas des formules pi de Srinivasa Ramanujan, l'un des mathématiciens les plus énigmatiques du XXe siècle.

En 1914, Ramanujan arriva à Cambridge avec un carnet rempli de notes. À l’intérieur se trouvaient 17 formules de calcul de 1/π qui laissaient sans voix les mathématiciens de l’époque. Ils étaient incroyablement efficaces : quelques étapes suffisaient pour obtenir de nombreux chiffres corrects de pi, beaucoup plus rapidement que n’importe quelle méthode connue jusqu’alors.

Pendant des décennies, ces formules ont été considérées comme un chef-d’œuvre des mathématiques pures. Ils fonctionnaient, ils étaient utilisés, mais personne ne pouvait vraiment expliquer pourquoi ils étaient si puissants. Il y avait un manque de connexion avec le monde physique, avec la réalité concrète. Mais aujourd’hui, quelque chose a changé.

Un groupe de chercheurs de l'Institut indien des sciences, en Inde, a découvert que les structures mathématiques cachées derrière les formules de Ramanujan sont les mêmes que celles utilisées par la physique moderne pour décrire des phénomènes extrêmes : des systèmes sur le point de se transformer, des matériaux qui changent d'état, jusqu'aux modèles théoriques de trous noirs.

Qui était Ramanujan et pourquoi son travail continue de nous étonner

L'histoire de Ramanujan semble presque irréelle. Né dans la pauvreté du sud de l'Inde, avec très peu d'éducation formelle, il a appris les mathématiques en autodidacte, étudiant des livres trouvés par hasard et allant bien au-delà de ce qui était écrit. Ses formules semblaient déjà complètes, sans démonstrations, comme s'il les avait simplement « vues ».

Lorsqu’il commença à envoyer ses résultats aux mathématiciens européens, beaucoup les ignorèrent. Un seul, GH Hardy, a compris que ces idées ne pouvaient pas être le fruit du hasard. Il l'a emmené à Cambridge, où Ramanujan a produit une quantité impressionnante de résultats en quelques années seulement, avant de tomber malade et de mourir à seulement 32 ans.

Parmi ses héritages les plus importants figurent les formules pi. Aujourd’hui encore, les algorithmes les plus avancés pour calculer pi s’appuient directement sur ses travaux. Certains calculs récents ont atteint des centaines de milliards de chiffres, en utilisant des méthodes dérivées de ses idées.

Le tournant : quand les mathématiques rencontrent la physique

Les chercheurs se sont demandés si ces formules pouvaient surgir « naturellement » au sein d’une théorie physique. La réponse les a conduits aux théories conformes des champs, des outils utilisés pour décrire des systèmes dans des conditions extrêmes, lorsque les lois normales cessent de fonctionner comme nous sommes habitués à l’imaginer.

Un exemple simple est l’eau au moment précis où elle ne peut plus être distinguée entre liquide et vapeur. À ce point critique, les différences disparaissent et le système se comporte de la même manière à n’importe quelle échelle. C’est précisément là que ces théories entrent en jeu.

Les versions plus particulières, dites logarithmiques, sont utilisées pour décrire des phénomènes complexes comme la diffusion de fluides dans des matériaux poreux, la formation de turbulences, certains états quantiques et même des modèles théoriques de trous noirs. Et c'est ici que les formules de Ramanujan réapparaissent, de manière inattendue.

Pi comme clé cachée des phénomènes extrêmes

En analysant les formules pi de Ramanujan avec le langage de la physique moderne, les chercheurs ont découvert que ces expressions mathématiques correspondent à des grandeurs physiques très spécifiques. Des paramètres qui semblaient abstraits décrivent en réalité comment un système réagit lorsqu’il est perturbé, lorsqu’il perd son équilibre, lorsqu’il s’approche d’une transformation radicale.

Le résultat est également surprenant d'un point de vue pratique. Les calculs qui nécessiteraient normalement de très longues étapes peuvent être considérablement simplifiés, réduits à des expressions compactes, tout comme Ramanujan l'a fait avec pi.

Le même schéma mathématique apparaît également dans les modèles décrivant ce qui se passe près de l’horizon d’un trou noir, comment les perturbations se propagent dans l’espace-temps et comment la matière se comporte dans des conditions extrêmes.

Quand les mathématiques passent avant la réalité

Ce n'est pas la première fois que cela arrive. La géométrie développée au XIXe siècle n’a trouvé d’application en relativité générale que quelques décennies plus tard. Les transformations mathématiques créées pour étudier la chaleur constituent désormais la base des images numériques et de la compression des données. Ramanujan s'inscrit dans cette tradition. Travaillant de manière isolée, sans connaissance de la physique moderne, il a identifié les structures qui sont essentielles à la compréhension de l'univers aujourd'hui. Son œuvre n’apporte pas de réponse définitive aux grands mystères du cosmos, mais elle ouvre de nouvelles voies.

Les mêmes chercheurs découvrent désormais également ces structures mathématiques dans des modèles d’univers en expansion. Un détail qui donne à réfléchir : lorsque nous calculons la circonférence d’un cercle, nous utilisons peut-être les mêmes règles qui régissent le tissu plus profond de la réalité.

Source : Lettres d'examen physique